精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數.

（1）求的單調區(qū)間；

（2）證明：當時，方程在區(qū)間上只有一個解；

（3）設，其中.若恒成立，求的取值范圍.

【答案】（1）在上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.（2）見解析(3)

【解析】分析：（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；

（2）求出函數的導函數，根據函數的單調性，得到函數在的零點個數，求出方程在的解的個數即可；

（3）設，，根據函數的單調性求出函數的最小值， ，求出的范圍即可.

詳解：（1）由已知.

所以，在區(qū)間上，函數在上單調遞減，

在區(qū)間上，函數在區(qū)間上單調遞增.

（2）設，.

，由（1）知，函數在區(qū)間上單調遞增.

且，.

所以，在區(qū)間上只有一個零點，方程在區(qū)間上只有一個解.

（3）設，，定義域為，

，

令，則，

由（2）知，在區(qū)間上只有一個零點，是增函數，

不妨設的零點為，則，

所以，與在區(qū)間上的情況如下：

-

0

+

所以，函數的最小值為，

，

由，得，

所以.

依題意，即，解得，

所以，的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=logm（m＞0且m≠1），

（I）判斷f（x）的奇偶性并證明；

（II）若m=，判斷f（x）在（3，+∞）的單調性（不用證明）；

（III）若0＜m＜1，是否存在β＞α>0，使f（x）在[α，β]的值域為[logmm（β-1），logm（α-1）]？若存在，求出此時m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】我國南宋時期的著名數學家秦九韶在他的著作《數學九章》中提出了秦九韶算法來計算多項式的值，在執(zhí)行如圖算法的程序框圖時，若輸入的n=5，x=2，則輸出V的值為（ ）
A.15
B.31
C.63
D.127

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】記Sn為等比數列的前n項和，已知S2=2，S3=-6.

（1）求的通項公式；

（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數列。

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在區(qū)間[0，2]上存在三個不同的實數a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是直角三角形，則m的取值范圍是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】一個盒子內裝有8張卡片，每張卡片上面寫著1個數字，這8個數字各不相同，且奇數有3個，偶數有5個．每張卡片被取出的概率相等．

（Ⅰ）如果從盒子中一次隨機取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數字相加得到一個新數，求所得新數是偶數的概率；

（Ⅱ）現從盒子中一次隨機取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數是偶數則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片．設取出了次才停止取出卡片，求的分布列和數學期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】有甲乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統計成績后，得到如下的列聯表.

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

甲班

10

乙班

30

總計

105

已知在全部105人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為.

(1)請完成上面的列聯表；

(2)根據列聯表的數據，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系”？

參考公式：K2＝

P(K2≥k0)

0.10

0.05

0.025

0.010

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在區(qū)間[0，2]上存在三個不同的實數a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形是直角三角形，則m的取值范圍是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=（a﹣bx3）ex﹣ ，且函數f（x）的圖象在點（1，e）處的切線與直線x﹣（2e+1）y﹣3=0垂直．
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）求證：當x∈（0，1）時，f（x）＞2．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案