解:(Ⅰ)屬于M
D.
事實上,對任意x
1,x
2∈R,|f(x
1)-f(x
2)|=|x
1-x
2|≤2|x
1-x
2|,
故可取常數(shù)k=2滿足題意,因此f(x)∈M
D.
(Ⅱ)∵
在[0,+∞)為增函數(shù)
∴對任意x
1,x
2∈[0,+∞)有
=
(當x
1=0,x
2→0時取到),所以
,此即為所求.
(Ⅲ)存在.
事實上,由(Ⅰ)可知,g(x)=kx+b(k≠0)屬于M
D.
∵t是g(x)=0的根∴
,
又f(g(t))=g(f(t)),∴f(0)=g(0),∴b=0,∴g(x)=kx
若k符合題意,則-k也符合題意,故以下僅考慮k>0的情形.
設(shè)h(x)=f(g(x))-g(f(x))=sinkx-ksinx,
①若k≥1,則
由
,
且
,
所以,在
中另有一根,矛盾.
②若
,
則
=sin2kπ-ksin2π<0,
所以在
中另有一根,矛盾.∴
.
以下證明,對任意
符合題意.
(。┊
時,由y=sinx圖象在連接兩點(0,0),(x,sinx)的線段的上方知sinkx>ksinx
∴h(x)>0.
(ⅱ)當
時,
.
(ⅲ)當
時,sinkx>0,sinx<0,∴h(x)>0.
從而h(x)=0有且僅有一個解x=0,∴g(x)=kx在
滿足題意.
綜上所述:
為所求.
分析:(Ⅰ)先求出,|f(x
1)-f(x
2)|=|x
1-x
2|得到其小于等于2|x
1-x
2|,即可說明其成立.(當然也可以取其它k值)
(Ⅱ)直接對
進行整理,根據(jù)其取值范圍即可得到k的取值范圍;
(Ⅲ)先根據(jù)(Ⅰ)可知,g(x)=kx+b(k≠0)屬于M
D,再借助于t是g(x)=0的根,以及f(g(t))=g(f(t)),得到g(x)=kx;最后根據(jù)k符合題意,則-k也符合題意,只需要借助與第三個要求求出k>0時對應(yīng)的范圍,再綜合即可得到結(jié)論.
點評:本題是在新定義下對函數(shù)恒成立問題的考查,第三問比較麻煩,建議程度較差的學生直接略過,只須看前兩問即可.