Question

【題目】某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺(tái)凈化器的利潤(rùn)為 x （單位：元， x 0 ）時(shí)，銷售量 q(x) （單位：百臺(tái)）與 x 的關(guān)系滿足：若 x 不超過 20 ， 則 ；若 x 大于或等于180 ，則銷售量為零；當(dāng) 20 ≤ x ≤180 時(shí)，（ a ， b 為實(shí)常數(shù)）．

（Ⅰ）求函數(shù) q(x) 的表達(dá)式；

（Ⅱ）當(dāng) x 為多少時(shí)，總利潤(rùn)（單位：元）取得最大值，并求出該最大值．

Answer 1

【答案】（1）.

（2）當(dāng) x 等于80 元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值 240000 元．

【解析】

試題分析：（1）求分段函數(shù)解析式，可從分段的節(jié)點(diǎn)出發(fā)，尋找條件，確定參數(shù)：解得列出（2）先列出利潤(rùn)函數(shù)解析式，分三段求最值，第一段為分式函數(shù)，可利用變量分離，結(jié)合單調(diào)性求最大值；第二段利用導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)，研究單調(diào)趨勢(shì)，求最大值；第三段為常函數(shù)，最后求三段最大值的最大值

試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，由得

故

（2）設(shè)總利潤(rùn)，

由（1）得

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，有最大值．

當(dāng)時(shí)，，，

令，得．

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，有最大值．

當(dāng)時(shí)，﹒

答：當(dāng)等于元時(shí)，總利潤(rùn)取得最大值元．