Question

7．討論函數(shù)y=log_a|x-2|的單調(diào)性．

Answer 1

分析 令t=|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}-x+2，x＜2\\ x-2，x＞2\end{array}\right.$，則內(nèi)函數(shù)在（-∞，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，分類討論外函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，可得復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：由|x-2|＞0得：x∈（-∞，2）∪（2，+∞），
令t=|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}-x+2，x＜2\\ x-2，x＞2\end{array}\right.$，
則y=log_at，
當0＜a＜1時，y=log_at為減函數(shù)，
t=$\left\{\begin{array}{l}-x+2，x＜2\\ x-2，x＞2\end{array}\right.$在（-∞，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，
故函數(shù)y=log_a|x-2|在（-∞，2）上為增函數(shù)，在（2，+∞）上為減函數(shù)，
當a＞1時，y=log_at為增函數(shù)，
t=$\left\{\begin{array}{l}-x+2，x＜2\\ x-2，x＞2\end{array}\right.$在（-∞，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)，
故函數(shù)y=log_a|x-2|在（-∞，2）上為減函數(shù)，在（2，+∞）上為增函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．