Question

18．己知函數(shù)f（x）與它的導(dǎo)函數(shù)f'（x）滿足x²f'（x）+xf（x）=lnx，且f（e）=$\frac{1}{e}$，則下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)
• B． f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)
• C． f（x）在區(qū)間（0，+∞）上先增后減
• D． f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是先減后增

Answer 1

分析 由題意知[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，從而由積分可知xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c，從而解得f（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2x}$+$\frac{1}{2x}$，從而再求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：∵x²f′（x）+xf（x）=lnx，
∴xf′（x）+f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴[xf（x）]′=$\frac{lnx}{x}$，
∴xf（x）=$\frac{1}{2}$（lnx）²+c，
又∵f（e）=$\frac{1}{e}$，
∴e•$\frac{1}{e}$=$\frac{1}{2}$+c，
故c=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{l{n}^{2}x}{2x}$+$\frac{1}{2x}$，
∴f′（x）=$\frac{2lnx•\frac{1}{x}•x-（l{n}^{2}x+1）}{2{x}^{2}}$=$\frac{-（lnx-1）^{2}}{2{x}^{2}}$≤0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及積分的應(yīng)用．