Question

1．在約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤x}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目標(biāo)函數(shù)z=x+$\frac{1}{2}$y的最大值為$\frac{5}{6}$．．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．
由z=x+$\frac{1}{2}$y得y=-2x+2z，
平移直線y=-2x+2z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+2z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=-2x+2z的截距最大，
此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）
代入目標(biāo)函數(shù)z=x+$\frac{1}{2}$y，
得z=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$．
故答案為：$\frac{5}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問(wèn)題的基本方法．