已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 （a＞b＞0）以雙曲線
x2
3
-y2=1的焦點為頂點，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的左、右頂點分別為點A，B，點M是橢圓C上異于A，B的任意一點．
①求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；
②若直線MA，MB與直線x=4分別交于點P，Q，求線段PQ長度的最小值．
分析：（1）利用橢圓、雙曲線的標(biāo)準方程及其性質(zhì)即可得出；
（2）①利用點在橢圓上、斜率計算公式即可證明；
②利用①的結(jié)論、斜率計算公式、基本不等式的性質(zhì)即可求出．
解答：解：（1）易知雙曲線
x2
3
-y2=1的焦點為（-2，0），（2，0），離心率為
2
3
，
則在橢圓C中a=2，e=
3
2
，故在橢圓C中c=
3
，b=1，∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1．
（2）①設(shè)M（x0，y0）（x0≠±2），由題易知A（-2，0），B（2，0），則kMA=
y0
x0+2
，kMB=
y0
x0-2
，
∴kMA•kMB=
y0
x0+2
×
y0
x0-2
=
y
2
0
x
2
0
-4
，
∵點M在橢圓C上，∴
x
2
0
4
+
y
2
0
=1，即
y
2
0
=1-
x
2
0
4
=-
1
4
(
x
2
0
-4)，故kMA•kMB=-
1
4
，即直線MA，MB的斜率之積為定值．    
②設(shè)P（4，y1），Q（4，y2），則kMA=kPA=
y1
6
，kMB=kBQ=
y2
2
，
由①得
y1
6
×
y2
2
=-
1
4
，即y1y2=-3，當(dāng)y1＞0，y2＜0時，|PQ|=|y1-y2|≥2
-y1y2
=2
3
，當(dāng)且僅當(dāng)y1=
3
，y2=-
3
時等號成立．
同理，當(dāng)y1＜0，y2＞0時，當(dāng)且僅當(dāng)y1=-
3
，y2=
3
時，|PQ|有最小值2
3
．
點評：數(shù)列掌握圓錐曲線的定義、標(biāo)準方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、基本不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．善于利用已經(jīng)證明的結(jié)論是常用的方法之一．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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