Question

6．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，AD為邊BC上的高，已知AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，b=1．
（Ⅰ）若A=$\frac{2}{3}$π，求c；
（Ⅱ）求c+$\frac{1}{c}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若A=$\frac{2}{3}$π，利用等面積，結合余弦定理，即可求c；
（Ⅱ）求出2-$\sqrt{3}$≤c≤2+$\sqrt{3}$，即可求c+$\frac{1}{c}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）若A=$\frac{2}{3}$π，則$\frac{1}{2}×c×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}×a×$$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，∴c=$\frac{1}{3}{a}^{2}$
∵a²=$1+{c}^{2}-2×1×c×（-\frac{1}{2}）$
∴c=1；
（Ⅱ）$\frac{1}{2}×c×1×sinA$=$\frac{1}{2}×a×$$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，∴a²=2$\sqrt{3}$csinA
∵a²=1+c²-2ccosA，
∴sin（A+30°）=$\frac{1+{c}^{2}}{4c}$
∴0＜$\frac{1+{c}^{2}}{4c}$≤1，
∴2-$\sqrt{3}$≤c≤2+$\sqrt{3}$，
∴c=2±$\sqrt{3}$時，c+$\frac{1}{c}$的最大值為4．

點評 本題考查余弦定理，考查三角形面積的計算，考查三角函數(shù)的性質，屬于中檔題．