Question

已知函數(shù)fn(x)=anx3+bnx2+cnx，滿足

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q(q＞1，q為常數(shù))，n∈N^*，給出下列說法：①函數(shù)f_n（x）為奇函數(shù)；
②若函數(shù)f₁（x）在R上單調(diào)遞增，則a₁＞0；
③若x₀是函數(shù)f_n（x）的極值點(diǎn)，則x₀也是函數(shù)f_n+1（x）的極值點(diǎn)；
④若bn2＞3ancn，則函數(shù)f_n（x）在R上有極值．
以上說法正確的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①利用奇函數(shù)的定義，可以判斷；
②根據(jù)函數(shù)f₁（x）在R上單調(diào)遞增，可得f₁′（x）=3a1x2+2b1x+c1＞0在R上恒成立，可得a₁＞0，△＜0；
③利用極值的定義，結(jié)合

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q(q＞1，q為常數(shù))，可得結(jié)論；
④f_n′（x）=3anx2+2bnx+cnx=0，若bn2＞3ancn，則方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且在其左右附近導(dǎo)數(shù)的符號改變．

解答： 解：①f_n（x）+f_n（-x）=anx3+bnx2+cnx=-anx3+bnx2-cnx=2bnx2≠0，
∴函數(shù)f_n（x）不是奇函數(shù)；
②f₁（x）=a1x3+b1x2+c1x，
則∵函數(shù)f₁（x）在R上單調(diào)遞增，
∴f₁′（x）=3a1x2+2b1x+c1＞0在R上恒成立，
∴a₁＞0，△＜0；
③若x₀是函數(shù)f_n（x）的極值點(diǎn)，
則f_n′（x₀）=3anx02+2bnx0+cnx0=0，
∵

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q(q＞1，q為常數(shù))，
∴f_n+1′（x₀）=q•（3anx02+2bnx0+cnx0）=0，
∴x₀也是函數(shù)f_n+1（x）的極值點(diǎn)；
④f_n′（x）=3anx2+2bnx+cnx=0，若bn2＞3ancn，
則方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且在其左右附近導(dǎo)數(shù)的符號改變，
∴函數(shù)f_n（x）在R上有極值．
綜上可知，②③④正確．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查數(shù)列知識，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．