Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ax-1

x+1

，其中a∈R
（1）解不等式f（x）≤-1； 
（2）求a的取值范圍，使f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）不等式f（x）≤-1，即

(a+1)x

x+1

≤0，再分當(dāng)a＜-1時(shí)、當(dāng)a=-1時(shí)、當(dāng)a＞-1三種情況，分別求得不等式解集．
（2）在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，化簡(jiǎn)f（x₁）-f（x₂）為

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，顯然只有當(dāng)a+1＜0時(shí)，才有 

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，由此求得a的范圍．

解答： 解：（1）不等式f（x）≤-1 即為

ax-1

x+1

≤-1，即

(a+1)x

x+1

≤0．
當(dāng)a＜-1時(shí)，不等式解集為（-∞，-1）∪[0，+∞）；
當(dāng)a=-1時(shí)，不等式解集為（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
當(dāng)a＞-1時(shí)，不等式解集為（-1，0]．
（2）在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，
則 f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

x1+1

-

ax2-1

x2+1

 
=

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

．
由題設(shè)可得，x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴當(dāng)a+1＜0，即a＜-1時(shí)，

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式不等式的解法，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．