Question

13．過(guò)原點(diǎn)的直線MM′與橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)M′，點(diǎn)F₂（1，0）是橢圓C的右焦點(diǎn)，且|MF₂|=1，|M′F₂|=3．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)直線x=4上一點(diǎn)Q作橢圓C的切線，切點(diǎn)為P，求證：以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)N（1，0）

Answer 1

分析 （1）由已知得a²=b²+c²，c=1，2a=4，由此能求出橢圓C的方程；
（2）設(shè)PQ的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，由動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x₀，y₀），得P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$，得Q（4，4k+m），證明k_PN•k_QN=$\frac{\frac{3}{m}}{-\frac{4k}{m}-1}$$•\frac{4k+m}{3}$=-1，即可得出以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（1，0）

解答 解：（1）由于點(diǎn)F₂（1，0）是橢圓C的右焦點(diǎn)，則橢圓的左焦點(diǎn)為F₁（-1，0）即c=1，
又由過(guò)原點(diǎn)的直線MM′與橢圓C分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)M′，|MF₂|=1，|M′F₂|=3．
則|MF₂|=|M′F₁|=1，得到|M′F₁|+|M′F₂|=2a=4，即a=2．
則b²=4-1=3，故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)PQ的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x₀，y₀），
∴m≠0，△=0，
∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0，
∴4k²-m²+3=0，①
此時(shí)x₀=$\frac{-4km}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{4k}{m}$，y₀=$\frac{3}{m}$，即P（-$\frac{4k}{m}$，$\frac{3}{m}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{x=4}\end{array}\right.$，得Q（4，4k+m），
∴k_PN•k_QN=$\frac{\frac{3}{m}}{-\frac{4k}{m}-1}$$•\frac{4k+m}{3}$=-1，
∴以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)N（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)N的判斷與求法，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．