Question

已知實(shí)數(shù)a是常數(shù)，f（x）=x³+ax²-3x+7．
（I ）當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）的圖象的切線的斜率不小于0，求a的取值范圍；
（II）如果當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得極值，當(dāng)．x∈[1，4]時(shí)，證明：|f（x）|≤11．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可將題轉(zhuǎn)化為求使得f'（x）=3x²+2ax-3＜0對(duì)任意x∈R恒成立的a的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可解題．
（II）根據(jù)題中條件：“當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得極值”知3是方程f′（x）=0的一個(gè)根，由此求得a值，再求出f（x）的最值即可證得：|f（x）|≤11．

解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax-3
∵當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）的圖象的切線的斜率不小于0
∴當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f′（x）=3x²+2ax-3≥0恒成立．
∴當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，a≥

3

2

（

1

x

-x）
∵當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，

3

2

（

1

x

-x）是減函數(shù)，
∴當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，

3

2

（

1

x

-x）的最大值為：

3

2

（

1

x

-2）=-

9

4

∴a≥-

9

4

（II）證明：設(shè)3，n是方程f′（x）=3x²+2ax-3=0的實(shí)數(shù)根，則：

n+3=- 2a 3 3n=-1

∴

n=- 1 3 a=-4

∴f（x）=x³-4x²-3x+7.-

1

3

∉[1，4]
∵f（1）=1，f（3）=-11，f（4）=-5
∴f（x）在[1，4]上的最小值是-11，最大值為：1
∴在[1，4]上|f（x）|的最大值為：11
∴x∈[1，4]時(shí)，|f（x）|≤11．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．屬中檔題．