【題目】設函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).

1)若在定義域上是增函數(shù),求的取值范圍;

2)若直線是函數(shù)的切線,求實數(shù)的值;

3)當時,證明:.

【答案】1;(2;(3)證明見解析

【解析】

1)首先求出函數(shù)的定義域與導函數(shù),由上是增函數(shù)

上恒成立;即上恒成立

,利用導數(shù)說明其單調性,即可求出參數(shù)的取值范圍;

(2)設切點為,則,再由切線的斜率為零得到,所以,構造函數(shù),利用導數(shù)說明其單調性,即可求出參數(shù)的值;

3)由,設,利用導數(shù)說明的單調性,即可得到,最后利用基本不等式即可得證;

解:(1)函數(shù)的定義域為,,

上是增函數(shù)

上恒成立;即上恒成立

,則

上為增函數(shù);即

.

2)設切點為,則,

因為,所以,得,

所以.

,則,

所以當時,,單調遞增,

時,單調遞減,

所以.

因為方程僅有一解

所以.

3)因為,

,則,所以單調遞增.

因為,,

所以存在,使得.

時,,,單調遞減,

時,,,單調遞增,

所以.

因為,所以,,

所以.

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),,曲線的極坐標方程為.

1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;

2)若直線與曲線交于兩點,設、中點為,求弦長以及.

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(2)的單調遞減區(qū)間.

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【題目】某品牌經(jīng)銷商在一廣場隨機采訪男性和女性用戶各50名,其中每天玩微信超過6小時的用戶列為“微信控”,否則稱其為“非微信控”,調查結果如下:

微信控

非微信控

合計

男性

26

24

50

女性

30

20

50

合計

56

44

100

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有95%的把握認為“微信控”與“性別”有關?

(2)現(xiàn)從調查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人,再隨機抽取3人贈送禮品,記這3人中“微信控”的人數(shù)為試求的分布列和數(shù)學期望.

參考公式: ,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】隨著手機的發(fā)展,微信逐漸成為人們支付購物的一種形式.某機構對使用微信支付的態(tài)度進行調查,隨機抽取了50人,他們年齡的頻數(shù)分布及對使用微信支付贊成人數(shù)如下表.

年齡(單位:歲)

,

,

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

1)若以年齡45歲為分界點,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為使用微信支付的態(tài)度與人的年齡有關;

年齡不低于45歲的人數(shù)

年齡低于45歲的人數(shù)

合計

贊成

不贊成

合計

2)若從年齡在的被調查人中按照贊成與不贊成分層抽樣,抽樣人數(shù)分別3人與2人,現(xiàn)對抽樣的5人進行追蹤調查,在5人中抽取3人做專訪,求3人中不贊成使用微信支付的人數(shù)的分布列和期望值.

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,其中.

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【題目】如圖,在三棱柱中,點在平面內運動,使得二面角的平面角與二面角的平面角互余,則點的軌跡是( )

A. 一段圓弧 B. 橢圓的一部分 C. 拋物線 D. 雙曲線的一支

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【題目】為了研究某學科成績是否與學生性別有關,采用分層抽樣的方法,從高二年級抽取了名男生和名女生的該學科成績,得到如圖所示男生成績的頻率分布直方圖和女生成績的莖葉圖,規(guī)定分以上為優(yōu)分(含分).

(1)(i)請根據(jù)圖示,將2×2列聯(lián)表補充完整;

優(yōu)分

非優(yōu)分

總計

男生

女生

總計

50

ii)據(jù)列聯(lián)表判斷,能否在犯錯誤概率不超過的前提下認為學科成績與性別有關?

(2)將頻率視作概率,從高二年級該學科成績中任意抽取名學生的成績,求成績?yōu)閮?yōu)分人數(shù)的分布列與數(shù)學期望.

參考公式:

參考數(shù)據(jù):

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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【題目】2019年高考數(shù)學的全國Ⅲ卷中,文科和理科的選做題題目完全相同,第22題考查選修4-4:極坐標和參數(shù)方程;第23題考查選修4-5:不等式選講.某校高三質量檢測的命題采用了全國Ⅲ卷的形式,在測試結束后,該校數(shù)學組教師對該校全體高三學生的選做題得分情況進行了統(tǒng)計,得到兩題得分的列聯(lián)表如下(已知每名學生只做了一道題):

選做22

選做23

合計

文科人數(shù)

50

60

理科人數(shù)

40

總計

400

1)完善列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),判斷能否有的把握認為“選做題的選擇”與“文、理科的科類”有關;

2)經(jīng)統(tǒng)計,第23題得分為0的學生中,理科生占理科總人數(shù)的,文科生占文科總人數(shù)的,在按分層抽樣的方法在第23題得分為0的學生中隨機抽取6名進行單獨輔導,并在輔導后隨機抽取2名學生進行測試,求被抽中進行測試的2名學生均為理科生的概率.

附:,其中.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】,。

(1)求的單調區(qū)間;

(2)討論零點的個數(shù);

(3)當時,設恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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