【題目】已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程;
(2)若直線與曲線交于、兩點,設(shè)、中點為,求弦長以及.
【答案】(1),;(2),.
【解析】
(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程,由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)將直線的參數(shù)方程化為(為參數(shù)),并設(shè)點、所對應(yīng)的參數(shù)分別為、,將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立,列出韋達定理,利用的幾何意義結(jié)合弦長公式可求得弦長以及.
(1)在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)得,即.
曲線的極坐標方程為,即,即;
(2)將直線的參數(shù)方程化為(為參數(shù)),設(shè)點、所對應(yīng)的參數(shù)分別為、,
將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立,消去、得,.
由韋達定理得,.
因此,,.
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【題目】如圖是放置在桌面的某三棱柱的三視圖,其中網(wǎng)格小正方形邊長為1.若三棱柱表面上的、兩點在三視圖中的對應(yīng)點為、,現(xiàn)一只螞蟻要沿該三棱柱的表面(不包括下底面)從爬到,則所有路徑里最短路徑的長度為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知點,圓.
(1)若直線過點且到圓心的距離為,求直線的方程;
(2)設(shè)過點的直線與圓交于、兩點(的斜率為負),當時,求以線段為直徑的圓的方程.
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【題目】已知,記為正整數(shù)a的各位數(shù)字之和。試求正整數(shù)t的最小值,使得在任意t個連續(xù)的正整數(shù)中總能找到一個數(shù)c,滿足。
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【題目】已知函數(shù),其中a為正實數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,,求證:.
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【題目】我國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表,即楊輝三角,這是數(shù)學史上的一個偉大成就.在“楊輝三角”中,第行的所有數(shù)字之和為,若去除所有為1的項,依次構(gòu)成數(shù)列,則此數(shù)列的前55項和為( )
A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048
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【題目】隨著網(wǎng)購人數(shù)的日益增多,網(wǎng)上的支付方式也呈現(xiàn)一種多樣化的狀態(tài),越來越多的便捷移動支付方式受到了人們的青睞,更被網(wǎng)友們評為“新四大發(fā)明”之一.隨著人們消費觀念的進步,許多人喜歡用信用卡購物,考慮到這一點,一種“網(wǎng)上的信用卡”橫空出世——螞蟻花唄.這是一款支付寶和螞蟻金融合作開發(fā)的新支付方式,簡單便捷,同時也滿足了部分網(wǎng)上消費群體在支付寶余額不足時的“賒購”消費需求.為了調(diào)查使用螞蟻花唄“賒購”消費與消費者年齡段的關(guān)系,某網(wǎng)站對其注冊用戶開展抽樣調(diào)查,在每個年齡段的注冊用戶中各隨機抽取100人,得到各年齡段使用螞蟻花唄“賒購”的人數(shù)百分比如圖所示.
(1)由大數(shù)據(jù)可知,在18到44歲之間使用花唄“賒購”的人數(shù)百分比y與年齡x成線性相關(guān)關(guān)系,利用統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù),以各年齡段的區(qū)間中點代表該年齡段的年齡,求所調(diào)查群體各年齡段“賒購”人數(shù)百分比y與年齡x的線性回歸方程(回歸直線方程的斜率和截距保留兩位有效數(shù)字);
(2)該網(wǎng)站年齡為20歲的注冊用戶共有2000人,試估算該網(wǎng)站20歲的注冊用戶中使用花唄“賒購”的人數(shù);
(3)已知該網(wǎng)店中年齡段在18-26歲和27-35歲的注冊用戶人數(shù)相同,現(xiàn)從18到35歲之間使用花唄“賒購”的人群中按分層抽樣的方法隨機抽取8人,再從這8人中簡單隨機抽取2人調(diào)查他們每個月使用花唄消費的額度,求抽取的兩人年齡都在18到26歲的概率.
參考答案:,.
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【題目】下列命題:
①對立事件一定是互斥事件;②若A,B為兩個隨機事件,則P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,則P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B滿足P(A)+P(B)=1,則A與B是對立事件.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】設(shè)函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若在定義域上是增函數(shù),求的取值范圍;
(2)若直線是函數(shù)的切線,求實數(shù)的值;
(3)當時,證明:.
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