【題目】已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)設(shè)為.

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,試用表示;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若的極值點(diǎn)恰為的零點(diǎn),試求,這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和的取值范圍.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ);(Ⅲ) .

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)題意,求出導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式,即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

(Ⅱ)根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn),由(Ⅰ)知,利用韋達(dá)定理以及極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)的值為0,得,,將表達(dá)成,再代入各項(xiàng)對(duì)應(yīng)得值即可。

(Ⅲ)根據(jù)題意,解出的極值點(diǎn),代入,可得的等量關(guān)系,再結(jié)合(Ⅱ)中的不等關(guān)系解出的范圍,將這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和用表達(dá)出來,構(gòu)造一個(gè)新的關(guān)于的函數(shù),利用導(dǎo)數(shù),即可求這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和的取值范圍。

(Ⅰ),.

,上單調(diào)遞增;

,方程有兩個(gè)不等實(shí)根

上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 ;

(Ⅱ)因有兩個(gè)極值點(diǎn),,由(Ⅰ)知,

,,.

于是,

.

(Ⅲ)由,則的極值點(diǎn)為.

于是,,即.顯然,,則.

由(Ⅱ)知,,,則,解得.

于是,.

,的所有極值之和為

,若,則,上單調(diào)遞減,

.

,知時(shí)有,則上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,

.

因此,當(dāng)時(shí),所求的取值范圍為.當(dāng)時(shí),所求的取值范圍為,

綜上,,這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和的取值范圍是 .

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1)將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率,隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性,求這3人中至少有1人是以看書為休閑方式的概率;

2)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有99%的把握認(rèn)為“在晚上8點(diǎn)至十點(diǎn)時(shí)間段的休閑方式與性別有關(guān)系?”

參考公式:,其中.

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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