Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，則a₂₀₁₂=（　�。�

• A． 2
• B． -3
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列實質(zhì)就是函數(shù)，可令a_n=f（n），把a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$轉(zhuǎn)化為f（n+1）與f（n）的關(guān)系，分析得到a_n周期出現(xiàn)，則答案可求．

解答 解：設(shè)a_n=f（n），由a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，得f（n+1）=$\frac{1+f（n）}{1-f（n）}$，
則f（n+2）=f[（n+1）+1]=$\frac{1+f（n+1）}{1-f（n+1）}$=$\frac{1+\frac{1+f（n）}{1-f（n）}}{1-\frac{1+f（n）}{1-f（n）}}$=$\frac{2}{-2f（n）}=-\frac{1}{f（n）}$，
∴f（n+4）=-$\frac{1}{f（n+2）}$=-$\frac{1}{-\frac{1}{f（n）}}=f（n）$，∴數(shù)列a_n是以4為周期出現(xiàn)的，
∴a₂₀₁₂=a₄，
又a₁=3，∴${a}_{2}=\frac{1+3}{1-3}=-2$，${a}_{3}=\frac{1-2}{1+2}=-\frac{1}{3}$，${a}_{4}=\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$．
∴a₂₀₁₂=$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式，解決此題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化成函數(shù)，進一步求出函數(shù)的周期，體現(xiàn)了數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．