Question

g′（x）是函數(shù)g（x）=sin²（2x+

π

6

）的導(dǎo)函數(shù)，f′（x）是定義城為R的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f（4）=g′（-

π

24

），又已知函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，則

b+2

a+2

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知推導(dǎo)出

a＞0 b＞0 2a+b＜4

，

b+2

a+2

表示上面不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（a，b）和（-2，-2）連線的斜率，由此能求出

b+2

a+2

的取值范圍．

解答： 解：∵g（x）=sin²（2x+

π

6

），
∴g′(x)=2sin(4x+

π

3

)，
∴f（4）=g′(-

π

24

)=2sin

π

6

=1，
由函數(shù)y=f′（x）的圖象知當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
即函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，
∴

a＞0 b＞0 f(2a+b)＜f(4)

，∴

a＞0 b＞0 2a+b＜4

，

b+2

a+2

表示上面不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（a，b）和（-2，-2）連線的斜率，
作出可行域OAB，
∵k_PB=

0+2

2+2

=

1

2

，kPA=

4+2

0+2

=3．
∴

b+2

a+2

的取值范圍是（

1

2

，3）．
故答案為：（

1

2

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查代數(shù)式的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．