Question

【題目】已知函數(shù)。

（1）若f（x）的圖象與g（x）的圖象所在兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)在y軸上，且在該點(diǎn)處兩條曲線的切線互相垂直，求b和c的值。

（2）若a＝c＝1，b＝0，試比較f（x）與g（x）的大小，并說明理由；

（3）若b＝c＝0，證明：對(duì)任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)m，使得當(dāng)x時(shí)，

恒有f（x）＞g（x）成立。

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ．（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）由題意得，，即（2）構(gòu)造函數(shù)則.當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí), 取得極小值, 且極小值為，故在上單調(diào)遞增, ，（3）構(gòu)造函數(shù)，則，故在上有最小值，，①若，存在，使當(dāng)時(shí),恒有；若，存在，使當(dāng)時(shí),恒有；③若，存在，使當(dāng)時(shí),恒有；

試題解析：（1）解: ，，， ，， 2分

依題意：，所以； 4分

（2）解: ，時(shí)，， 5分

①時(shí)，，，即

②時(shí)，，，即

③時(shí)，令,則.

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí), 單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時(shí), 取得極小值, 且極小值為

即恒成立，故在上單調(diào)遞增,又,

因此,當(dāng)時(shí), ,即. 9分

綜上，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ． 10分

（3）

證法一：①若，由（2）知，當(dāng)時(shí), .即，

所以，時(shí)，取，即有當(dāng)，恒有.

②若,即，等價(jià)于即

令,則.當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞增.

取,則，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.

又

即存在,當(dāng)時(shí)，恒有. 15分

綜上，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)，恒有. 16分

證法二：設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)增，

故在上有最小值，， 12分

①若，則在上恒成立，

即當(dāng)時(shí)，存在，使當(dāng)時(shí),恒有；

②若，存在，使當(dāng)時(shí),恒有；

③若，同證明一的②， 15分

綜上可得，對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在,當(dāng)時(shí),恒有. 16分