Question

（2006•朝陽區(qū)二模）如圖，已知圓C：（x-1）²+y²=r²（r＞1），設(shè)M為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過M作圓C的弦MN，并使它的中點(diǎn)P恰好落在y軸上．
（Ⅰ）當(dāng)r=2時(shí)，求滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)r∈（1，+∞）時(shí)，求點(diǎn)N的軌跡G的方程；
（Ⅲ）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與（Ⅱ）中軌跡G相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)E、F，若

CE

•

CF

＞0，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知得，r=2時(shí)，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），設(shè)N（x，y）聯(lián)立方程可解得MN的中點(diǎn)P坐標(biāo)；
（2）設(shè)N（x，y）由已知得，先利用圓方程求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)P（0，b），得：r=b²+1．利用圓的方程與x+1-r=0消去r，即可得出點(diǎn)N的軌跡方程；
（3）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用向量的數(shù)量積公式即可求得k值范圍，從而解決問題．

解答：解：（1）：由已知得，r=2時(shí)，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），
設(shè)N（x，y）則

(x-1)2+y2=4 x-1=0

解得N（1，±2）．
所以MN的中點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，±1）．
（2）：設(shè)N（x，y）由已知得，在圓方程中令y=0，求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-r，0）．
設(shè)P（0，b），則由k_CPk_mp=-1（或用勾股定理）得：r=b²+1．
則

(x-1)2+y2=r2 x+1-r=0

，消去r，
又r＞1，所以點(diǎn)N的軌跡方程為y²=4x（x≠0）．
（3）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

y=kx+2 y2=4x ，

消去y得k²x²+（4k-4）x+4=0，因?yàn)橹本�l與拋物線y²=4x（x＞0）相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，
所以△=-32k+16＞0，所以k＜

1

2

，
又因?yàn)?span id="yrxe77s" class="MathJye">

CM

•

CN

＞0，所以（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＞0，
所以（k²+1）x₁x₂+（2k-1）（x₁+x₂）+5＞0，得k²+12k＞0，
所以k＞0或k＜-12，
綜上可得0＜k＜

1

2

或k＜-12．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．