Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，x∈R
（1）已知任意三次函數(shù)的圖象為中心對稱圖形，若本題中的函數(shù)f（x）圖象以P（2，m）為對稱中心，求實數(shù)a和m的值
（2）若|a|＞1，求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，2|a|]上的最小值．

Answer 1

（1）解法一：由函數(shù)f（x）圖象以P（2，m）為對稱中心，
則f（1）+f（3）=2f（2），代入計算得：3a-1+27-9a=8，∴a=3，
故f（x）=2x³-12x²+18x，
則m=f（2）=16-48+36=4
解法二：由f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，∴f'（x）=6[x²-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a），
則a+12=2，則a=3，故f（x）=2x³-12x²+18x，
則m=f（2）=16-48+36=4
（2）由f'（x）=6[x²-（a+1）x+a]=6（x-a）（x-1），
因為|a|＞1，∴a＜-1或a＞1，討論：
1．若a＜-1，如下表：

x	（0，1）	1	（1，2|a|）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	3a-1	↗

則此時f_min（x）=f（1）=3a-1．
若a＞1時，如下表：

x	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，2|a|）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	3a-1	↘	3a2-a3	↗

由f（0）=0，f（a）=3a²-a³=a²（3-a），
i）當(dāng)1＜a≤3時，f（a）≥f（0），則f_min（x）=f（0）=0；
ii）當(dāng)a＞3時，f（a）＜f（0），則f_min（x）=f（a）=3a2-a3；

綜上所述：f_min（x）=

3a-1，(a＜-1) 0，(1＜a≤3) 3a2-a3，(a＞3)

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