Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AA₁=AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D．
（Ⅰ）求證：AC₁⊥BA₁；
（Ⅱ）求A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，分別以DE，DC，DA₁所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，用向量法能證明BA₁⊥AC₁．
（Ⅱ）求出平面A₁AB的法向量和平面A₁BC的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則DE∥BC，
∵BC⊥AC，∴DE⊥AC，
∵A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點(diǎn)D，
∴A₁D⊥平面ABC，
∴分別以DE，DC，DA₁所在的直線為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
則A（0，-1，0），C（0，1，0），B（2，1，0），
A1(0，0，

3

)，C1(0，2，

3

)，

AC1

=（0，3，

3

），

BA1

=（-2，-1，

3

），
∵

AC1

•

BA1

=0，∴BA₁⊥AC₁．
（Ⅱ）設(shè)平面A₁AB的法向量為

n

=（x₁，y₁，z₁），
∵

AA1

=（0，1，

3

），

AB

=（2，2，0），
由

n • AA1 =0 n • AB =0

，得

y1+ 3 z1=0 2x1+2y1=0

，
令z₁=1，得x1=

3

，y₁=-

3

，∴

n

=（

3

，-

3

，1），
設(shè)平面A₁BC的法向量為

m

=（x₂，y₂，z₂），
∵

CA1

=(0，-1，

3

)，

CB

=（2，0，0），
由

m • CA1 =0 m • CB =0

，得

-y2+ 3 z2=0 2x2=0

，
∴

m

=(0，

3

，1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=-

7

7

，
∴二面角A-A₁B-C的余弦值為

7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．