Question

21．如圖，橢圓Q:=1(a＞b＞0)的右焦點為F(c，0)，過點F的一動直線m繞點F轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于A、B兩點，P為線段AB的中點．

  (1)求點P的軌跡H的方程；

  (2)若在Q的方程中，令a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤).確定θ的值，使原點距橢圓Q的右準線l最遠．此時，設l與x軸交點為D，當直線m繞點F轉(zhuǎn)動到什么位置時，三角形ABD的面積最大?

Answer 1

解：如圖，

 

（1）設橢圓Q：=1上的點A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂），又設P點坐標為P（x,y），則

1°當AB不垂直x軸時，x₁≠x₂,

由①-②得

b²(x₁-x₂)2x+a²(y₁-y₂)2y=0,

∴

∴b²x²+a²y²-b²cx=0,  ……………（*）

2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程(*).

故所求點P的軌跡H的方程為：b²x²+a²y²-b²cx=0.

（2）因為，橢圓Q右準線l方程是x=,原點距橢圓Q的右準線l的距離為，

由于c²=a²-b²,a²=1+cosθ+sinθ，b²=sinθ(0＜θ≤).

則=.

當θ=時，上式達到最大值，所以當θ=時，原點距橢圓Q的右準線l最遠.

此時a²=2,b²=1,c=1,D(2,0),|DF|=1.

設橢圓Q：=1上的點A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)，

△ABD面積S=|y₁|+|y₂|=|y₁-y₂|.

設直線m的方程為x=ky+1,代入=1中，得(2+k²)y²+2ky-1=0.

由韋達定理得y₁+y₂=-,y₁y₂=-,

4S²=(y₁-y₂)²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=,

令t=k²+1≥1,得4S²≤=2,當t=1,k=0取等號.

因此，當直線m繞點F轉(zhuǎn)動到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大.