如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，沿對角線BD將DABC向上折起，使點A移至點P，且P在平面BCD的射影O在DC上．

    （1）求證：PD^PC；

    （2）求二面角P-DB-C的平面角的余弦值；

    （3）求直線CD與平面PBD所成角的正弦值．

答案：
解析：

解：（1）∵ PO^平面BCD，DC^BC，PD在底面BCD上的射影為DC，∴ PD^BC．

    又PD^PB，PB∩PC=P，∴ PD^平面PBC，PCÌ平面PBC  ∴ PD^PC．

    （2）過P作PN^BD于N連結NO．

    ∵ PO^平面BDC，∴ PO^BD，∴ BD^平面PNO，

    ∴ ÐPNO就是二面角P-BD-C的平面角，且ÐPON是直角．

    RtDPDB中，PD=2，BP=6，．

    ∴ ÐPBD=30°，∴ PN=PB=3．

    RtDPDC中，PD=2，PC=2，DC=6．

    ，

    ∴ ，則cosÐPNO=．

    （3）過O作OM^PN于點M，連DM，∵ BD^平面PNO，∴ OM^BD，∴ OM^平面PDB．∴ ÐODM就是直線DC與平面PDB所成的角．RtDPON中，OM=PO×sinÐNPO=PO×

cosÐPNO=PO×cosÐPNO=．

∴ ÐBDC=30°，∴ DO=2ON=2，∴


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，矩形ABCD中，AB=
8
3
3
，BC=2，橢圓M的中心和準線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線，矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長，橢圓M的離心率大于0.7．
（I）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担髾E圓M的方程；
（II）過橢圓M的中心作直線l與橢圓交于P，Q兩點，設橢圓的右焦點為F2，當∠PF2Q=
2π
3
時，求△PF2Q的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M為AD的中點，則
BM
•
BD
的值為
 
．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

A 若方程ax-x-a=0有兩個實數(shù)解，則a的取值范圍是
（1，+∞）
（1，+∞）

B 如圖，矩形ABCD中邊長AB=2，BC=1，E為BC的中點，若F為正方形內（含邊界）任意一點，則
AE
•
AF
的最大值為
9
2
9
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，矩形ABCD中，DC=
3
，AD=1，在DC上截取DE=1，將△ADE沿AE翻折到D'點，當D'在平面ABC上的射影落在AE上時，四棱錐D'-ABCE的體積是
2
6
-
2
12
2
6
-
2
12
；當D'在平面ABC上的射影落在AC上時，二面角D'-AE-B的平面角的余弦值是
2-
3
2-
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理）如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD
（1）問BC邊上是否存在Q點，使
PQ
⊥
QD
，說明理由．
（2）問當Q點惟一，且cos＜
BP
，
QD
＞=
10
10
時，求點P的位置．

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