Question

已知函數(shù)f(x)=

3-x2(x＞0) 3(x=0) 2x+2(x＜0)

，
（1）畫出函數(shù)f（x）圖象；
（2）若f(x)＞

5

2

，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法,分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分段畫出圖象即可；
（2）根據(jù)每一段的解析式分別進行討論，列出不等關(guān)系，求解即可得到答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=

3-x2(x＞0) 3(x=0) 2x+2(x＜0)

，
故作出f（x）的圖象如圖所示；
（2）∵函數(shù)f(x)=

3-x2(x＞0) 3(x=0) 2x+2(x＜0)

，
①當(dāng)x＞0時，f（x）=3-x²，
則f(x)＞

5

2

，
即3-x²＞

5

2

，
整理可得x²＜

1

2

，
解得-

2

2

＜x＜

2

2

，
又∵x＞0，
∴x的取值范圍為（0，

2

2

）；
②當(dāng)x=0時，f（x）=3＞

5

2

，
∴x=0符合題意；
③當(dāng)x＜0時，f（x）=2^x+2，
則f(x)＞

5

2

，即2^x+2＞

5

2

，
整理可得2^x＞

1

2

，解得x＞-1，
又∵x＜0，
∴x的取值范圍為（-1，0）．
綜合①②③可得，x的取值范圍為(-1，

2

2

)．

點評：本題考查了分段函數(shù)的圖象的畫法，分段函數(shù)不等式的解法．對于分段函數(shù)的問題，一般選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法進行求解，根據(jù)分段函數(shù)的圖象很容易得到相關(guān)的性質(zhì)，若選用分類討論的方法，則關(guān)鍵是討論需用哪段解析式進行求解．屬于中檔題．