如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，側(cè)面PAD⊥平面AC，在△PAD中，E為AD中點，PA=PD．
（I）證明：PA⊥BE；
（II）若AB=
2
PA，求點D到平面PBC的距離．
分析：（I）先證明BE⊥AD，利用側(cè)面PAD⊥平面AC，可得BE⊥側(cè)面PAD，從而可得PA⊥BE；
（II）先證明點D到平面PBC的距離等于點E到平面PBC的距離，平面PBC⊥平面PEB，再利用等面積，可求點D到平面PBC的距離．
解答：（I）證明：∵底面ABCD為菱形，E為AD中點，
∴不妨設AB=2AE=2a
∵∠DAB=60°，∴BE2=AB2+AE2-2AB•AEcos60°=3a2，
∴BE=
3
a，∴AB2=BE2+AE2，
∴BE⊥AD
∵側(cè)面PAD⊥平面AC，BE?平面AC，側(cè)面PAD∩平面AC=AD，
∴BE⊥側(cè)面PAD
∵PA?側(cè)面PAD
∴PA⊥BE；
（II）解：∵AD∥BC，∴點D到平面PBC的距離等于點E到平面PBC的距離．
∵PA=PD，E為AD中點，∴PE⊥AD
∵BE⊥AD，BE∩PE=E
∴AD⊥平面PEB
∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB
∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEB
過E作EH⊥PB，垂足為H，則EH⊥平面PBC，故EH為所求
∴由等面積可得EH=
PE•EB
PB
=
3
2
．
點評：本題考查面面垂直的性質(zhì)，考查線面垂直的判定，考查點到直線距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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