Question

【題目】某市教學(xué)研究室為了對今后所出試題的難度有更好的把握，提高命題質(zhì)量，對該市高三理科數(shù)學(xué)試卷的得分情況進行了調(diào)研．從全市參加考試的理科考生中隨機抽取了100名考生的數(shù)學(xué)成績（滿分150分），將數(shù)據(jù)分成9組：，，，，，，，，，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．用統(tǒng)計的方法得到樣本標準差，以頻率值作為概率估計值．

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，求抽取的100名理科考生數(shù)學(xué)成績的平均分及眾數(shù)；

（Ⅱ）用頻率估計概率，從該市所有高三理科考生的數(shù)學(xué)成績中隨機抽取3個，記理科數(shù)學(xué)成績位于區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）從該市高三理科數(shù)學(xué)考試成績中任意抽取一份，記其成績?yōu)?/span>，依據(jù)以下不等式評判（表示對應(yīng)事件的概率）：

①，②，

③，其中．

評判規(guī)則：若至少滿足以上兩個不等式，則給予這套試卷好評，否則差評．試問：這套試卷得到好評還是差評？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）平均分，眾數(shù)；（Ⅱ）分布列詳見解析，；（Ⅲ）得到好評．

【解析】

（Ⅰ）利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)和眾數(shù)的方法可直接求得結(jié)果；

（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖計算可知理科數(shù)學(xué)成績位于內(nèi)的概率為，則，由此計算出的每個取值對應(yīng)的概率，由此得到分布列；由二項分布數(shù)學(xué)期望計算公式計算可得；

（Ⅲ）計算每個區(qū)間取值所對應(yīng)的概率與原則所對應(yīng)的概率之間的大小關(guān)系，從而得到結(jié)論.

（Ⅰ）；

眾數(shù)：；

（Ⅱ）用頻率估計概率，可得從該市所有高三考生的理科數(shù)學(xué)成績中隨機抽取個，理科數(shù)學(xué)成績位于內(nèi)的概率為，則隨機變量服從二項分布，故．

由題意知：所有可能的取值為，

；；；；

的分布列為：

數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）記該市高三考生的理科數(shù)學(xué)成績?yōu)?/span>，由（Ⅰ）可知，，又，

則，，，

，，，

，

，

，

符合②③，不符合①，這套試卷得到好評．