Question

對于函數(shù)y=f（x），x∈D，若存在常數(shù)c，使對任意x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，滿足，則稱函數(shù)f（x）在D上的均值為c，現(xiàn)已知函數(shù)：①y=2^x，②y=x⁵，③y=2sinx，④y=lgx，則滿足在其定義域上均值為2的函數(shù)的序號是________（填上所有符合要求的函數(shù)的序號）

Answer 1

②④
分析：首先分析題目求對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函數(shù)．
對于函數(shù)①y=2^x，利用特殊值法代入驗證不成立成立．即可得到答案．
對于函數(shù)②y=x⁵，可直接取任意的x₁，驗證求出唯一的 ，即可得到成立．
對于函數(shù)③y=2sinx，因為y=2sinx是R上的周期函數(shù)，明顯不成立．
對于函數(shù)④y=lgx，定義域為x＞0，值域為R且單調(diào)，顯然成立．
解答：首先分析題目求對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使 f（x₁）+f（x₂）=4成立的函數(shù)．
對于函數(shù)①y=2^x，利用特殊值x₁=3時，代入驗證不成立成立．x₂不存在
對于函數(shù)②y=x⁵，可直接取任意的x₁，驗證求出唯一的 ，即可得到成立．
對于函數(shù)③y=2sinx，因為y=2sinx是R上的周期函數(shù)，明顯不成立．
對于函數(shù)④y=lgx，定義域為x＞0，值域為R且單調(diào)，顯然成立．
故答案為：②④
點評：此題主要應(yīng)用新定義的方式考查平均值不等式在函數(shù)中的應(yīng)用．對于新定義的問題，需要認(rèn)真分析定義內(nèi)容，切記不可偏離題目．