Question

已知A、D分別為橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點與上頂點，橢圓的離心率e=

3

2

，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點，點P是線段AD上的任一點，且

PF1

．

PF2

的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程．
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB（O為坐標原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．
（3）設直線l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，且l與橢圓E有且僅有一個公共點B₁，當R為何值時，|A₁B₁|取最大值？并求最大值．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則

PF1

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²，P在AD上，x²+y²看作線段AD上的點P（x，y）到原點距離的平方，所以P在A點，x²+y²最大，a²-c²=1，由此能求出橢圓方程1．
（2）由橢圓方程為

x2

4

+y²=1，設圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．解方程組

y=kx+t x2 4 +y2=1

得（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，要使切線與橢圓恒有兩個交點A，B，則使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0．由此能求出存在圓心在原點的圓x²+y²=

4

5

，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B．
（3）設直線l的方程為y=mx+n，因為直線l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，由R=

|n|

1+m2

，知n²=R²（1+m²），因為l與橢圓只有一個公共點B₁，所以

y=mx+n x2 4 +y2=1

，即（1+4m²）x²+8mx+4n²-4=0有唯一解．由此入手能夠?qū)С霎擱=

2

∈（1，2）時|A₁B₁|取得最大值，最大值為1．

解答：解：（1）設P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中c²=a²-b²，c＞0
則

PF1

=（-c-x，-y），

PF2

=（c-x，-y）∴

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²
∵P在AD上，x²+y²看作線段AD上的點P（x，y）到原點距離的平方，
∴P在A點，x²+y²最大，∴a²-c²=1，
又e=

c

a

=

3

2

，∴a²=4，b²=1，c²=3，橢圓方程

x2

4

+y²=1．
（2）由（1）知橢圓方程為

x2

4

+y²=1，
①設圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解方程組

y=kx+t x2 4 +y2=1

得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，
要使切線與橢圓恒有兩個交點A，B，則使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0
即4k²-t²+1＞0，即t²＜4k²+1，且

x1+x2=- 8kt 1+4k2 x1x2= 4t2-4 1+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=

k2(4t2-4)

1+4k2

-

8 k2t2

1+4k2

+t²=

t2-4k2

1+4k2

，
要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即

4t2-4

1+4k2

+

t2-4k2

1+4k2

=

5t2-4k2-4

1+4k2

=0，
所以5t²-4k²-4=0，即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1，即4k²+4＜20k²+5恒成立．
又因為直線y=kx+t為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=

|t|

1+k2

，r²=

t2

1+k2

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

4

5

，所求的圓為x²+y²=

4

5

．
②當切線的斜率不存在時，切線為x=±

2

5

5

，與

x2

4

+y²=1交于點（

2

5

5

，±

2

5

5

）或（-

2

5

5

，±

2

5

5

）滿足．
綜上，存在圓心在原點的圓x²+y²=

4

5

．，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B．

（3）設直線l的方程為y=mx+n，因為直線l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，
由（2）知R=

|n|

1+m2

，即n²=R²（1+m²）①，因為l與橢圓只有一個公共點B₁，
由（2）知

y=mx+n x2 4 +y2=1

得x²+4（mx+n）²=4，即（1+4m²）x²+8mx+4n²-4=0有唯一解，
則△=64m²n²-16（1+4m²）（n²-1）=16（4m²-n²+1）=0，即4m²-n²+1=0，②
由①②得

n2= 3R2 4-R2 m2= R2-1 4-R2

此時A，B重合為B₁（x₁，y₁）點，由

x1 +x2=- 8mn 1+4m2 x1x2= 4n2-4 1+4m2

中x₁=x₂，所以x₁²=

4n2-4

1+4m2

=

16R2-16

3R2

，B₁（x₁，y₁）點在橢圓上，所以y₁²=1-

1

4

x₁²=

4-R2

3R2

|OB₁|²=x₁²+y₁²=5-

4

R2

，在直角三角形OA₁B₁中，|A₁B₁|²=|OB₁|²-|OA₁|²=5-

4

R2

-R²=5-（

4

R2

+R²）
因為（

4

R2

+R²）≥4當且僅當R=

2

∈（1，2）時取等號，所以|A₁B₁|²≤5-4=1
即當R=

2

∈（1，2）時|A₁B₁|取得最大值，最大值為1．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱條件，靈活運用橢圓性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．