Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和為S_n，且S₄=48，a₂+a₄=16．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（17-a_n）2ⁿ，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)和公差，由此能求出a_n=32-8n．
（2）由b_n=（17-a_n）2ⁿ=（8n-15）•2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)之和為S_n，且S₄=48，a₂+a₄=16，
∴

4a1+ 4×3 2 d=48 2a1+4d=16

，
解得a₁=24，d=-8，
∴a_n=24+（n-1）×（-8）=32-8n．
（2）b_n=（17-a_n）2ⁿ=（8n-15）•2ⁿ，
∴Tn=-7×2+1×22+9×23+…+(8n-15)×2n，①
2T_n=-7×2²+1×2³+9×2⁴+…+（8n-15）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=-14+8（2²+2³+…+2ⁿ）-（8n-15）×2ⁿ⁺¹
=-14+8×

4(1-2n-1)

1-2

-（8n-15）×2ⁿ⁺¹
=-46-（8n-23）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（8n-23）•2ⁿ⁺¹+46．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．