Question

已知函數(shù)f（x）=

x2e-ax   x＜0 a-x2 x+1 -1    x≥0

在R上為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分當(dāng)x＜0、當(dāng)x＞0兩種情況，分別考查導(dǎo)數(shù)的符號，求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)x＜0時，f′（x）=x（2-ax）e^-ax，
當(dāng)x＞0時，f′(x)=

-2x(x+1)-(a-x2)

(x+1)2

=

-x2-2x-a

(x+1)2

．
若f（x）在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，則當(dāng)x＞0時，f′(x)=

-x2-2x-a

(x+1)2

＞0，顯然a∈∅．
若f（x）在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，則
當(dāng)x＞0時，f′(x)=

-x2-2x-a

(x+1)2

＜0，即a＞-x²-2x，所以a≥0．
當(dāng)x＜0時，f′（x）=x（2-ax）e^-ax＜0，即ax-2＜0，所以a≥0．
當(dāng)x=0時，0≥a-1，即a≤1．
綜上可得0≤a≤1．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性的定義、性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．