選修4--4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線C：上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為β=α與β=2α（0＜α＜2π），M為PQ的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求M的軌跡的參數(shù)方程
（Ⅱ）將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為a的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn)．
【答案】分析：（I）根據(jù)題意寫出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得出M的軌跡的參數(shù)方程；
（II）利用兩點(diǎn)間的距離公式得到M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d==，再驗(yàn)證當(dāng)α=π時(shí)，d=0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)．
解答：解：（I）根據(jù)題意有：P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，故M（cosα+cos2α，sin2α+sinα），
∴求M的軌跡的參數(shù)方程為：（α為參數(shù)，0＜α＜2π）．
（II）M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d==（0＜α＜2π）．
當(dāng)α=π時(shí)，d=0，故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

本題（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
33
cd
，若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為
α
=
1
1
，屬于特征值1的一個(gè)特征向量為
β
=
^ 
&-2；
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）判斷矩陣A是否可逆，若可逆求出其逆矩陣A-1．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
，圓M的參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=-2+2sinθ
（其中θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求圓M上的點(diǎn)到直線的距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講，設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|；
（Ⅰ）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（Ⅱ）如果關(guān)于x的不等式f（x）≤2有解，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC
交于點(diǎn)D．求證：ED2=EB•EC．
B．選修4-2：矩陣與變換
求矩陣M=
-14
26
的特征值和特征向量．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，直線l與曲線C的極坐標(biāo)方程分別是ρcos(θ+
π
4
)=
3
2
2
和ρsin2θ=4cosθ，直線l與曲線C交于點(diǎn)．A，B，C，求線段AB的長(zhǎng)．
D．選修4-5：不等式選講
對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線L的參數(shù)方程為
x=3-
2
2
t
y=
2
2
t
（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2
5
sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線L交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，
5
），求|PA|+|PB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•許昌三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l的參數(shù)方程為
x=a+4t
y=-1-2t
（t為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合）中，圓C的方程為ρ=2
2
cos（θ+
π
4
）．
（Ⅰ）求圓心C到直線l的距離；
（Ⅱ）若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為
6
5
5
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•廣東模擬）（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講）
在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線C參數(shù)方程為
x=
3
cosθ
y= sinθ
（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-
π
4
)=2
2
．則曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離是
3
2
3
2
．

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