Question

11．如圖，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：BD⊥EF；
（Ⅱ）若AF=1，且二面角B-EF-C的大小為30°，求CE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過題意可得四邊形ACEF在同一平面內(nèi)，利用線面垂直的判定定理及性質定理即得結論；
（Ⅱ）以點A為坐標原點，分別以AB、AD、AF所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系A-xyz，通過平面BEF的一個法向量與平面CEF的一個法向量的夾角的余弦值的絕對值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，計算即得CE的長．

解答 （Ⅰ）證明：∵AF⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，
∴AF∥CE，∴四邊形ACEF在同一平面內(nèi)，
∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥BD，
又∵ABCD為正方形，∴AC⊥BD，
∵AF∩AC=A，∴BD⊥平面ACEF，
∴BD⊥EF；
（Ⅱ）解：以點A為坐標原點，分別以AB、AD、AF所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系A-xyz如圖，
設CE=a，則B（1，0，0），F(xiàn)（0，0，1），E（1，1，a），
∴$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{BE}$=（0，1，a），
設平面BEF的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-x+1=0}\\{y+a=0}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{m}$=（1，-a，1），
由（I）知$\overrightarrow{DB}$=（1，-1，0）是平面CEF的一個法向量，
∴|cos＜$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|a+1|}{\sqrt{2}•\sqrt{{a}^{2}+2}}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a=2，即CE=2．

點評 本題考查空間中線線垂直的判定及性質，以及求二面角的三角函數(shù)值，注意解題方法的積累，屬于中檔題．