已知x，y，z均為實數(shù)，
（1）x+y+z=1，求證：
3x+1
+
3y+2
+
3z+3
≤3
3
；
（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值．
考點(diǎn)：二維形式的柯西不等式
專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用,推理和證明
分析：（1）由題意，根據(jù)柯西不等式有（
3x+1
+
3y+2
+
3z+3
）2≤（12+12+12）[（
3x+1
）2+（
3y+2
）2+（
3z+3
）2]=3[3（x+y+z）+6]=3×9=27，即可證明結(jié)論；
（2）由條件利用柯西不等式（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2，求得x2+y2+z2的最小值．
解答： （1）證明：由題意，根據(jù)柯西不等式有（
3x+1
+
3y+2
+
3z+3
）2≤（12+12+12）[（
3x+1
）2+（
3y+2
）2+（
3z+3
）2]=3[3（x+y+z）+6]=3×9=27，
所以
3x+1
+
3y+2
+
3z+3
≤3
3
；
（2）12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=36，
∴x2+y2+z2≥
18
7
，即x2+y2+z2的最小值是
18
7
．
點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，考查柯西不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
與
b
的夾角為120°，且|
a
|=|
b
|=1，
c
=
1
2
a
+
1
4
b
，則
a
與
c
的夾角大小為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）對于任意x．∈R，都有f（x+4）=-
1
f(x)
，設(shè)an=f（n）（n∈N），則
f(200)+f(201)+f(202)+f(203)
f(8)+f(9)+f(10)+f(11)
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若（2-x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，An=a1+a2+…+an，則
lim
n→∞
2-An
8+3An
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，記f1（x）=f′（x），f2（x）=f1′（x），…，fn（x）=fn-1′（x）（n∈N*且n≥2），試計算f1（x），f2（x），f3（x），f4（x），并猜想f2010（x）的表達(dá)式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（μ，?2），且P（ξ＜-1）=P（ξ＞2）=0.3，則P=（-2＜ξ＜0）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

方程組
x-y+1=0
2x+y-4=0
的解集可表示為：（1）（1，2）；（2）{（1，2）}；（3）{（x，y）|x=1，y=2}；（4）
x=1
y=2
；（5）{（x，y）|
x=1
y=2
}，其中正確的個數(shù)有
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求
2π
3
的正弦值、余弦值和正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD為等邊三角形，底面ABCD為棱形且∠DAB=
π
3
．
（Ⅰ）求證：PB⊥AD；
（Ⅱ）求平面PAB與平面PCD所成的角（銳角）的余弦值．

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同步練習(xí)冊答案