Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，記f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*且n≥2），試計(jì)算f₁（x），f₂（x），f₃（x），f₄（x），并猜想f₂₀₁₀（x）的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,推理和證明

分析：利用三角函數(shù)求導(dǎo)法則求出f₁（x），f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…觀察所求的結(jié)果，歸納其中的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)標(biāo)號(hào)的周期性為4，即可求得正確答案

解答： 解：f₁（x）=f′（x）=cosx-sinx
f₂（x）=f₁′（x）=-sinx-cosx，
f₃（x）=（-sinx-cosx）′=-cosx+sinx，
f₄（x）=sinx+cosx，
f₅（x）=cosx-sinx
以此類推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
∴f₂₀₁₀（x）=f_502×4+2（x）=f（2）=-sinx-cosx．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、周期性、及觀察歸納思想的運(yùn)用，熟練掌握三角函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用其中的函數(shù)周期性則解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．