Question

已知橢圓C：x²+=1，過點M（0，1）的直線l與橢圓C相交于兩點A、B．
（Ⅰ）若l與x軸相交于點P，且P為AM的中點，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)點N（0，），求||的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）解：設(shè)A（x₁，y₁），
因為P為AM的中點，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，
所以，解得y₁=-1，（1分）
又因為點A（x₁，y₁）在橢圓C上，
所以，即，解得，
則點A的坐標(biāo)為（）或（-），
所以直線l的方程為，或．
（Ⅱ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，，
所以，
則，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時，
其方程為x=0，A（0，2），B（0，-2），此時；
當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+1，
由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組的解，
消去y得（4+k²）x²+2kx-3=0，
所以△=（2k）²+12（4+k²）＞0，，
則，
所以
=，
當(dāng)k=0時，等號成立，即此時取得最大值1．
綜上，當(dāng)直線AB的方程為x=0或y=1時，有最大值1．
分析：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），因為P為AM的中點，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，所以y₁=-1，又因為點A（x₁，y₁）在橢圓C上，所以，由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，，所以，則，由此進行分類討論，能推導(dǎo)出當(dāng)直線AB的方程為x=0或y=1時，有最大值1．
點評：本題主要考查橢圓標(biāo)準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想的靈活運用．