(Ⅰ)解:設(shè)A(x
1,y
1),
因為P為AM的中點,且P的縱坐標(biāo)為0,M的縱坐標(biāo)為1,
所以
,解得y
1=-1,(1分)
又因為點A(x
1,y
1)在橢圓C上,
所以
,即
,解得
,
則點A的坐標(biāo)為(
)或(-
),
所以直線l的方程為
,或
.
(Ⅱ)解:設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),
則
,
,
所以
,
則
,
當(dāng)直線AB的斜率不存在時,
其方程為x=0,A(0,2),B(0,-2),此時
;
當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)其方程為y=kx+1,
由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組
的解,
消去y得(4+k
2)x
2+2kx-3=0,
所以△=(2k)
2+12(4+k
2)>0,
,
則
,
所以
=
,
當(dāng)k=0時,等號成立,即此時
取得最大值1.
綜上,當(dāng)直線AB的方程為x=0或y=1時,
有最大值1.
分析:(Ⅰ)設(shè)A(x
1,y
1),因為P為AM的中點,且P的縱坐標(biāo)為0,M的縱坐標(biāo)為1,所以y
1=-1,又因為點A(x
1,y
1)在橢圓C上,所以
,由此能求出直線l的方程.
(Ⅱ)設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),則
,
,所以
,則
,由此進行分類討論,能推導(dǎo)出當(dāng)直線AB的方程為x=0或y=1時,
有最大值1.
點評:本題主要考查橢圓標(biāo)準方程,簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系.考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.解題時要認真審題,仔細解答,注意分類討論思想的靈活運用.