已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)．
（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為
3
2
，求橢圓的標準方程；
（2）在（1）的條件下，設(shè)過定點M（0，2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．
分析：（1）利用橢圓的長軸長為4，離心率為
3
2
，求得幾何量，即可求得橢圓的標準方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及∠AOB為銳角，建立不等式，即可求得直線l的斜率k的取值范圍．
解答：解：（1）由題意，2a=4，e=
c
a
=
3
2
，∴a=2，c=
3

∴b=
a2-c2
=1
∴橢圓C的標準方程為
x
2
 
4
+y2=1；
（2）顯然直線x=0不滿足條件，可設(shè)直線l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）
直線代入橢圓方程，消去y可得（1+4k2）x2+16kx+12=0
∵△=（16k）2-4×12×（1+4k2）＞0，∴k＜-
3
2
或k＞
3
2

x1+x2=-
16k
1+4k2
，x1x2=
12
1+4k2

∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=
4-4k2
1+4k2

由于∠AOB為銳角，x1x2+y1y2＞0，∴
12
1+4k2
+
4-4k2
1+4k2
＞0
∴2＜k＜2
∴直線L的斜率的取值范圍是（-2，-
3
2
）∪（
3
2
，2）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：x2+
y2
m
=1的焦點在y軸上，且離心率為
3
2
．過點M（0，3）的直線l與橢圓C相交于兩點A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點，且滿足
OA
+
OB
=λ
OP
（O為坐標原點），當(dāng)|
PA
|-|
PB
|＜
3
時，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)經(jīng)過 點B(0，
3
)，且離心率為
1
2
，右頂點為A，左右焦點分別為F1，F(xiàn)2；橢圓C2以坐標原點為中心，且以F1F2為短軸端，上頂點為D．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）若C1與C2交于M、N、P、Q四點，當(dāng)AD∥F2B時，求四邊形MNPQ的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C經(jīng)過點A(1， 
3
2
)，且經(jīng)過雙曲線y2-x2=1的頂點．P是該橢圓上的一個動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左右焦點，
（1）求橢圓C的方程；
（2）求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值．
（3）求
PF1
•
PF2
的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），長半軸長為
2
．
（1）（i）求橢圓C的方程；
（ii）類比結(jié)論“過圓
x
2
 
+
y
2
 
=r2上任一點（x0，y0）的切線方程是x0x+yy0=
r
2
 
”，歸納得出：過橢圓
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)上任一點（x0，y0）的切線方程是
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1
x0x
a
2
 
+
y0y
b
2
 
=1
；
（2）設(shè)M，N是直線x=2上的兩個點，若
F1M
•
F2M
=0，求|MN|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓c的左右焦點，點P在橢圓C上（不是頂點），△PF1F2內(nèi)一點G滿足3
PG
=
PF1
+
PF2
，其中
OG
=(
1
9
a，
6
9
a)．
（I）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若橢圓C短軸長為2
3
，過焦點F2的直線l與橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），若
AF2
=2
F2B
，求△F1AB面積．

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同步練習(xí)冊答案