Question

【題目】已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù).

（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)；

（2）若f(x)在（-2,2）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a，若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，（<且≠0）使得f()=f(),求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為或；（2）見解析

【解析】

（1）直接解方程即得函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為或；（2）由題得，利用分段函數(shù)的單調(diào)性和二次函數(shù)的圖象分析即得解；（3）對(duì)分三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的圖象分析得解.

（1），

所以或，

所以或，

所以或.

所以函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為或.

（2）由題得，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，

當(dāng)即時(shí)，由題得，即.因?yàn)?/span>，所以；

當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在（-2,2）上為增函數(shù)，所以；

當(dāng)即時(shí)，由題得，所以，所以.

綜上，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

（3）當(dāng)時(shí)，，

(因?yàn)?/span><且≠0，所以不能取等)

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以不滿足題意；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

所以，令，

①若，則，由知且

所以

所以函數(shù)M在上是增函數(shù)，

所以，

所以此時(shí).

②若，則，則，

所以，因?yàn)?/span>，，所以

，

因?yàn)?/span>，所以，

所以，

令，所以

所以，

綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不存在；當(dāng)時(shí)，.