Question

20．已知實(shí)數(shù)x，y滿足：y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（-2≤x≤2）．
（1）求m=$\frac{y}{x+3}$的取值范圍；
（2）求b=2x+y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）作出曲線對(duì)應(yīng)的圖象，m=$\frac{y}{x+3}$的幾何意義為半圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)C（-3，0）的斜率，利用直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可；
（2）由b=2x+y得y=-2x+b，利用b的幾何意義以及線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：由y=1+$\sqrt{4-{x}^{2}}$（-2≤x≤2）．
得y-1=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，（-2≤x≤2）．
平方得x²+（y-1）²=4，（-2≤x≤2）．
對(duì)應(yīng)的圖象是以（0，1）為圓心，半徑R=2的上半圓．
（1）m=$\frac{y}{x+3}$的幾何意義為半圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)C（-3，0）的斜率，
由圖象知當(dāng)AC的斜率最小，此時(shí)A（2，1）．m=$\frac{1}{2+3}$=$\frac{1}{5}$，
由m=$\frac{y}{x+3}$得y=m（x+3），即mx-y+3m=0，
當(dāng)直線mx-y+3m=0與半圓在第二象限相切時(shí)，m取得最大值（此時(shí)m＞0），
則圓心到直線的距離d=$\frac{|3m-1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}=2$，
平方得7m²-6m-1=0，
解得m=1或m=-$\frac{1}{7}$（舍），
即$\frac{1}{5}$≤m≤1．
（2）由b=2x+y得y=-2x+b，
平移直線y=-2x+b，由圖象知當(dāng)直線y=-2x+b過(guò)B（-2，1）時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)b最小，為b=-4+1=-3，
當(dāng)直線y=-2x+b即2x+y-b=0與半圓在第一象限相切時(shí)，b取得最大值，
圓心到直線的距離d=$\frac{|1-b|}{\sqrt{4+1}}=\frac{|b-1|}{\sqrt{5}}=2$，
即|b-1|=2$\sqrt{5}$，
解得b=2$\sqrt{5}$+1或b=-2$\sqrt{5}$+1（舍）
故3≤b≤2$\sqrt{5}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的方程的綜合應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及直線和圓的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．