Question

若底邊長為2的正四棱錐內(nèi)切一半徑為

1

2

的球，則此正四棱錐的體積是

 

．

Answer 1

考點：球內(nèi)接多面體,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離,球

分析：運用分割思想，連接OP，OA，OB，OC，OD，得到四個三棱錐和一個四棱錐，由大的四棱錐的體積等于四個三棱錐的體積和一個小的四棱錐的體積之和，根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)，求出斜高，即可求出正四棱錐的高，從而得到正四棱錐的體積．

解答： 解：設(shè)正四棱錐的高為h，連接OP，OA，OB，OC，OD，
得到四個三棱錐和一個四棱錐，它們的高均為

1

2

，
則V_P-ABCD=V_O-PAB+V_O-PAD+V_O-PBC+V_O-PCD+V_O-ABCD
即

1

3

h×2²=

1

3

×

1

2

（4×S_△PBC+4），
由四棱錐的高和斜高，及斜高在底面的射影構(gòu)成的直角三角形得到，
斜高為

h2+1

，
∴S_△PBC=

1

2

×2

h2+1

=

h2+1

，
∴2h=1+

h2+1

，解得，h=

4

3

．
則正四棱錐的體積為

1

3

×4×

4

3

=

16

9

．
故答案為：

16

9

．

點評：本題主要考查球與正四棱錐的關(guān)系，通過分割，運用體積轉(zhuǎn)換的思想，是解決本題的關(guān)鍵．