Question

8．定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足對一切x＞0總有f[f（x）-log₂x]=3，則g（x）=f（x）+x-4的零點個數(shù)是1（個）．

Answer 1

分析 設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=log₂x+t，又由f（t）=3，即log₂t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零點所在的區(qū)間為（1，2），結(jié)合函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=3，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，則f（x）-log₂x為定值．
設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=3，可得t+log₂t=3，可解得t=2，故f（x）=2+log₂x．
函數(shù)g（x）=f（x）+x-4的零點的個數(shù)，
即g（x）=log₂x+x-2，
∵g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（2）=1+2-2＞0，g（1）=0+1-2＜0，
∴g（x）在（1，2）上存在唯一的零點
故答案為：1（個）

點評 本題考查二分法求函數(shù)的零點與函數(shù)零點與方程根的關(guān)系的應(yīng)用，關(guān)鍵點和難點是求出f（x）的解析式．