【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C.

(1)證明:AC=AB1;
(2)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.

【答案】
(1)證明:連結(jié)BC1,交B1C于點(diǎn)O,連結(jié)AO,

∵側(cè)面BB1C1C為菱形,

∴BC1⊥B1C,且O為BC1和B1C的中點(diǎn),

又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,

∵AO平面ABO,∴B1C⊥AO,

又B10=CO,∴AC=AB1,


(2)解:∵AC⊥AB1,且O為B1C的中點(diǎn),∴AO=CO,

又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,

∴OA,OB,OB1兩兩垂直,

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸的正方向,| |為單位長(zhǎng)度,

的方向?yàn)閥軸的正方向, 的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

∵∠CBB1=60°,∴△CBB1為正三角形,又AB=BC,

∴A(0,0, ),B(1,0,0,),B1(0, ,0),C(0, ,0)

=(0, ), = =(1,0, ), = =(﹣1, ,0),

設(shè)向量 =(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,

,可取 =(1, , ),

同理可得平面A1B1C1的一個(gè)法向量 =(1,﹣ , ),

∴cos< , >= =

∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為


【解析】(1)連結(jié)BC1 , 交B1C于點(diǎn)O,連結(jié)AO,可證B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10=CO,進(jìn)而可得AC=AB1;(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 的方向?yàn)閤軸的正方向,| |為單位長(zhǎng)度, 的方向?yàn)閥軸的正方向, 的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,分別可得兩平面的法向量,可得所求余弦值.

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B. 回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(,

C. 若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

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