【題目】已知函數(shù)，，.

(1)求的極值；

(2)若對任意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

(3)若函數(shù)恰有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)的極小值為，無極大值；(2)；(3) .

【解析】

(1)求出，判斷其符號，得出的單調(diào)性即可

(2)將變形為，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在恒成立即可

(3)求出，然后分四種情況討論

(1)，令，得.

列表如下：

1

－

0

＋

極小值

∵，∴的極小值為，無極大值.

(2)∵，由(1)可知

等價(jià)于，

即.

設(shè)，則在為增函數(shù).

∴在恒成立.

∴恒成立.

設(shè)，∵在上恒成立

∴為增函數(shù).

∴在上的最小值為.

∴，∴的最大值為.

(3)

①當(dāng)時(shí)，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

所以的極大值為

所以函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.

③當(dāng)時(shí)，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

所以的極大值為

的極小值為

所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn).

④當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

所以

Ⅰ：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn).

Ⅱ：當(dāng)時(shí)，

所以存在，

所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn).

又

所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn).

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A.將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對照試驗(yàn)．兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)(單位：千克)如下：

品種A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412, 414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454

品種B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395, 397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430

(1)作出莖葉圖；

(2)通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，一動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡方程；

(2)過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是直線上任意點(diǎn)，直線，，的斜率分別為，，，試探求，，的關(guān)系，并給出證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的焦點(diǎn)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，若曲線與曲線關(guān)于直線對稱.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x0，y0)在曲線y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，，n∈N*．記直線APn的斜率為kn．

（1）若k1＝2，求P1的坐標(biāo)；

（2）若k1為偶數(shù)，求證：kn為偶數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知圓，連接并延長交圓于點(diǎn)為橢圓長軸上一點(diǎn)（異于左、右焦點(diǎn)），過點(diǎn)作橢圓長軸的垂線分別交橢圓和圓于點(diǎn)（均在軸上方）.連接，記的斜率為，的斜率為.

①求的值；

②求證：直線的交點(diǎn)在定直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.

（1）求的方程；

（2）設(shè)的短軸端點(diǎn)分別為，，直線：交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)B在雙曲線的右支上，矩形OFBD與矩形AEGF相似，且矩形OFBD與矩形AEGF的面積之比為2：1，則該雙曲線的離心率為

A.

B.

C.

D.

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