Question

（2012•黃浦區(qū)二模）某高科技企業(yè)研制出一種型號為A的精密數(shù)控車床，A型車床為企業(yè)創(chuàng)造的價值逐年減少（以投產(chǎn)一年的年初到下一年的年初為A型車床所創(chuàng)造價值的第一年）．若第1年A型車床創(chuàng)造的價值是250萬元，且第1年至第6年，每年A型車床創(chuàng)造的價值減少30萬元；從第7年開始，每年A型車床創(chuàng)造的價值是上一年價值的50%．現(xiàn)用an(n∈N*)表示A型車床在第n年創(chuàng)造的價值．
（1）求數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的通項公式a_n；
（2）記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項的和，Tn=

Sn

n

．企業(yè)經(jīng)過成本核算，若T_n＞100萬元，則繼續(xù)使用A型車床，否則更換A型車床．試問該企業(yè)須在第幾年年初更換A型車床？（已知：若正數(shù)數(shù)列{b_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，則數(shù)列{

b1+b2+…+bn

n

}也是單調(diào)遞減數(shù)列）．

Answer 1

分析：（1）依據(jù)題意，知a₁，a₂，…，a₆構(gòu)成首項為a₁=250，公差d=-30的等差數(shù)列，a7，a8，…，an(n≥7，n∈N*)構(gòu)成首項為a7=

1

2

a6=50，公比q=

1

2

的等比數(shù)列，從而可得數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的通項公式；
（2）由（1）知，{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，于是，數(shù)列{T_n}也是單調(diào)遞減數(shù)列，先判斷T_n＞100（1≤n≤6），再判斷當(dāng)n=11時，T₁₁＞104（萬元）；當(dāng)n=12時，T₁₂＜96（萬元），從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）依據(jù)題意，知a₁，a₂，…，a₆構(gòu)成首項為a₁=250，公差d=-30的等差數(shù)列．
故an=280-30n(n∈N*，n≤6)（萬元）．     　　　　　　　　　　　　　　　　 （3分）
a7，a8，…，an(n≥7，n∈N*)構(gòu)成首項為a7=

1

2

a6=50，公比q=

1

2

的等比數(shù)列．
因此，an=50•(

1

2

)n-7(n≥7，n∈N*)（萬元）．　　　　　　　　　　　　　　　　�。�6分）
于是，an=

280-30n(1≤n≤6) 50•( 1 2 )n-7(n≥7)

(n∈N*)（萬元）．　　　　　　　　　　　　　�。�7分）
（2）由（1）知，{a_n}是單調(diào)遞減數(shù)列，于是，數(shù)列{T_n}也是單調(diào)遞減數(shù)列．
∵S6=

(a1+a6)•6

2

=1050（萬元），T6=

S6

6

=175＞100（萬元），
∴T_n＞100（1≤n≤6）．
∴當(dāng)n≥7時，Tn=

Sn

n

=

1

n

(a1+a2+…+a6+a7+…+an)
=

1

n

(1050+

50(1-( 1 2 )n-6)

1- 1 2

)=

1150- 100 2n-6

n

（萬元）．　　　　　　　　　　　　　　   　　�。�9分）
當(dāng)n=11時，T₁₁＞104（萬元）；當(dāng)n=12時，T₁₂＜96（萬元）．　　　    　　　　�。�13分）
∴當(dāng)n≥12，n∈N^*時，恒有T_n＜96．
∴該企業(yè)需要在第11年年初更換A型車床．　　　　　　　　　　　　　　　　　　�。�14分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項與求和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．