Question

已知函數(shù)f(x)=log2

x+3

x-3

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明：
（3）若f（m）=-3，求f（-m）．

Answer 1

分析：（1）令真數(shù)

x+3

x-3

＞0，解出定義域；
（2）由（1）知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再證f（-x）=-f（x），由定義可判斷出函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）由（2）知函數(shù)為奇函數(shù)，可得f（-m）=-f（m）=3．

解答：解：（1）∵真數(shù)必須大于0，即

x+3

x-3

＞0
∴x＜-3或x＞3
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?（-∞，-3）∪（3，+∞）
（2）∵f（-x）=log₂

-x+3

-x-3

=log₂

x-3

x+3

=log₂(

x+3

x-3

)  -1=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)；
（3）∵函數(shù)為奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
取x=m，得f（-m）=-f（m）=3

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，奇函數(shù)的證明，利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性解不等式，求解本題關(guān)鍵是熟練掌握對(duì)數(shù)和運(yùn)算法則及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，本題考查運(yùn)算能力，變形轉(zhuǎn)化的能力．