Question

已知O為△ABC的外心，∠BAC=45°，若

AO

•

AB

=1，若

AO

•

AC

=2，則△ABC的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,余弦定理

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：先設(shè)AB=c，AC=b，外接圓的半徑為R，利用余弦定理求出cos∠BAO、cos∠CAO，由條件和數(shù)量積運(yùn)算求出邊c、b，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答： 解：設(shè)AB=c，AC=b，外接圓的半徑為R，
在△ABO中，由余弦定理得cos∠BAO=

AB2+AO2-BO2

2•AB•AO

=

c2+R2-R2

2cR

=

c

2R

，
同理可得，cos∠CAO=

b

2R

，
因?yàn)?span id="9b1hftu" class="MathJye">

AO

•

AB

=1，

AO

•

AC

=2，
所以cR•

c

2R

=1，bR•

b

2R

=2，解得c=

2

，b=2，
又∠BAC=45°，
則△ABC的面積為S=

1

2

×|AB|×|AC|sin∠BAC=

1

2

×

2

×2×

2

2

=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題．