Question

橢圓C的中心在原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)的焦點(diǎn)的準(zhǔn)線了l與x軸相交于A，|OF₁|=2|F₁A|.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓C的左焦點(diǎn)作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l，交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)M在軸上，且使MF₂為的一條角平分線，則稱點(diǎn)M為橢圓的“左特征點(diǎn)”，求橢圓C的左特征點(diǎn)；
(3)根據(jù)(2)中的結(jié)論，猜測(cè)橢圓的“左特征點(diǎn)”的位置．

Answer 1

(1)  (2)  (3) 左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)

本試題主要是運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)得到橢圓方程，然后結(jié)合新定義得到直線與 橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示，然后得到左特征點(diǎn)。同時(shí)利用橢圓的準(zhǔn)線返程的得到交點(diǎn)，進(jìn)而猜測(cè)左特征點(diǎn)。
（1）由條件知，可設(shè)橢圓方程為
又
（2）)設(shè)左特征點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，
可設(shè)直線的方程為
聯(lián)立直線與橢圓方程的得到關(guān)系式，進(jìn)而得到韋達(dá)定理，利用角平分線的性質(zhì)得到結(jié)論。
（3）因?yàn)闄E圓的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，
故猜測(cè)橢圓的左特征點(diǎn)為左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)。
解：（1）由條件知，可設(shè)橢圓方程為
又
橢圓方程為   …………4分
(2)設(shè)左特征點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，
可設(shè)直線的方程為
由與，消去得
又設(shè)，則
      ①     
        　　　②                …………6分
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823231233551549.png" style="vertical-align:middle;" />為的角平分線，所以，即
       ③
將與代入③化簡(jiǎn)，得     
   ④
再將①②代入④得       
 即左特征點(diǎn)為                      …………10分
（3）因?yàn)闄E圓的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，
故猜測(cè)橢圓的左特征點(diǎn)為左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)． …………12分