Question

過橢圓左焦點(diǎn)F，傾斜角為

π

3

的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則橢圓的離心率為

2

3

．

Answer 1

分析：先確定|AF|、|BF|，再利用橢圓的第二定義，結(jié)合AB傾斜角為60°，可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為M，過A、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為D、C，過B作BH⊥AD，垂足為H，交x軸于E．
設(shè)|AB|=3t，因?yàn)閨FA|=2|FB|，則|BF|=t，|AF|=2t，
因?yàn)锳B傾斜角為60°，所以∠ABH=30°，則|AH|=

1

2

|AB|=

3

2

t，
根據(jù)橢圓第二定義，可得|AH|=|AD|-|BC|=

2t

e

-

t

e

=

t

e

，
∴

3

2

t=

t

e

∴e=

2

3

，
故答案為：

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題與直線的傾斜角的性質(zhì)相結(jié)合，考查橢圓的基本性質(zhì)，考查橢圓的第二定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力．