Question

10．如圖，BD是△ABC外接圓的切線，過A作BD的平行線交BC于E，交△ABC的外接圓于F．
（1）若∠D=∠ABD，BC=2$\sqrt{3}$，AC=4，求△ABC外接圓的面積；
（2）求證：AC•EF=AB•EC．

Answer 1

分析 （1）利用切割線定理，求出DA，證明AC為△ABC外接圓的直徑，即可求△ABC外接圓的面積；
（2）證明△EFC∽△ABC，即可證明AC•EF=AB•EC．

解答 （1）解：∵BD是△ABC外接圓的切線，
∴∠C=∠ABD，
∵∠D=∠ABD，
∴∠D=∠C，
∴BD=BC=2$\sqrt{3}$，
由切割線定理可得BD²=DA•DC，即12=DA•（DA+4），
∴DA=2，
∵∠D=∠ABD，
∴AB=AD=2，
∴△ABC中，AB²+BC²=AC²，∴AC為△ABC外接圓的直徑，
∴△ABC外接圓的面積為4π•2²=16π；
（2）證明：連接CF，則∠ECF=∠BAF=∠ACB，
∵∠EFC=∠ABC，
∴△EFC∽△ABC，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{EC}{AC}$，
∴AC•EF=AB•EC．

點(diǎn)評 本題考查切割線定理，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．