Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（-2+k）=f（-2-k）（k∈R），且該函數(shù)與y軸交于點（0，1），在x軸上截得的線段長為．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）求不等式f（x）≤0的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出二次函數(shù)的解析式，由圖象在y軸上截距為1，可求得c，再由被x軸截得的線段長為2和對稱軸方程為可得關(guān)于a，b的兩個關(guān)系式進(jìn)而求解．
（2）按照一元二次不等式解法解出即可．
解答：解：設(shè)二次函數(shù)為：y=ax²+bx+c
∵圖象與y軸交于點（0，1），
∴c=1
此時y=ax²+bx+1
∵f（-2+k）=f（-2-k）∴對稱軸方程為x=-2
∴
∵被x軸截得的線段長為2，
|x₂-x₁|²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=8
即
∴a=，b=2
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²+2x+1
（2）不等式f（x）≤0即為x²+2x+1≤0
由x²+2x+1=0得x=-2-或x=-2+
∴x²+2x+1≤0的解集為{x|-2-≤x≤-2+}
點評：本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一元二次不等式解法．對于二次函數(shù)圖象要從以下幾個方面把握：開口方向，對稱軸，與坐標(biāo)軸交點情況．二次函數(shù)圖象涉及到與y軸的交點可得c，方程的根可得區(qū)間長度，對稱軸可知a，b的關(guān)系等．