Question

1．已知函數f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）．
（I）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（II）若f（x）≤0恒成立，試確定實數k的取值范圍；
（III）證明：$\frac{ln2}{3}+\frac{ln3}{4}+…+\frac{lnn}{n+1}＜\frac{{n（{n-1}）}}{4}（{N∈{N_+}且n≥2}）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函數f（x）的定義域為（0，+∞），而f′（x）=$\frac{1}{x-1}$-k．能求出函數f（x）的單調區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k≤0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數，而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（Ⅰ）知f（x）的最大值為f（$\frac{1}{k}$+1），由此能確定實數k的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當k=1時，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是減函數，f（1）=0，即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能夠證明（n∈N^*且n＞1）．

解答 解：（Ⅰ）函數f（t）的定義域為（1，+∞），f′（t）=$\frac{1}{x-1}$-k．
當k≤0時，f′（t）=$\frac{1}{x-1}$-k＞0，
f（x）在（1，+∞）上是增函數；
當k＞0時，若x∈（0，$\frac{1}{k}$+1）時，有f′（x）＞0，
若x∈（$\frac{1}{k}$+1，+∞）時，有f′（x）＜0，
則f（x）在（0，$\frac{1}{k}$+1）上是增函數，在（$\frac{1}{k}$+1，+∞）上是減函數．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k≤0時，f（x）在（1，+∞）上是增函數，
而f（2）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
又由（Ⅰ）知f（x）的最大值為f（$\frac{1}{k}$+1），要使f（x）≤0恒成立，
則f（$\frac{1}{k}$+1）≤0即可，即-lnk≤0，得k≥1；
（Ⅲ）當k=1時，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
且f（x）在（2，+∞）上是減函數，f（2）=0，
即ln（x-1）＜x-1-1在x∈（2，+∞）上恒成立，
令x-1=n²，則lnn²＜n²-1，
即2lnn＜（n-1）（n+1），
∴$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{n-1}{2}$（n∈N^*且n＞1）
∴$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{4}$+$\frac{ln4}{5}$+…+$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n-1}{2}$=$\frac{n（n-1）}{4}$，
即：$\frac{ln2}{3}$+$\frac{ln3}{4}$+$\frac{ln4}{5}$+…+$\frac{lnn}{n+1}$＜$\frac{n（n-1）}{4}$（n∈N^*且n＞1）成立．

點評 本題考查函數單調區(qū)間的求法，確定實數的取值范圍，不等式的證明．考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．